目录
前言
1.H∞输出反馈控制
1.1 框架结构
1.2 广义开环系统
1.3 H∞输出反馈控制器
1.4 广义闭环系统
2.LMI推导
2.1 系统渐近稳定，且从 w 到 z 的传递函数的 H ∞ 范数小于 1 的充分必要条件
2.2 消去法
2.3 变量替代法
3.例子
3.1 程序
3.2 运行结果
文章来源地址https://www.uudwc.com/A/rX96M/
前言
发现输出反馈有两种线性LMI形式，通过俞立老师的书推导进行总结一下，另外往期的文章也有介绍：
H2/H无穷控制之msfsyn、hinfmix和h2hinfsyn函数使用及示例学习_Mr. 邹的博客-CSDN博客_hinfsyn函数 LMI线性矩阵不等式之非线性变量处理_Mr. 邹的博客-CSDN博客
基于LMI的输出反馈H∞控制及其仿真(白嫖程序模型)_Mr. 邹的博客-CSDN博客
1.H∞输出反馈控制
1.1 框架结构
H∞输出反馈控制框架
1.2 广义开环系统
显然输出反馈，需要可观测输出，所以在本小节的讨论中，我们做以下的假定：
1.3 H∞输出反馈控制器
1.4 广义闭环系统
2.LMI推导
由于公式太难编辑了，所以就直接将俞立老师书上的推导按自己的理解粘贴了过来(仅作为学术交流，如若侵权删，谢谢！)
2.1 系统渐近稳定，且从 w 到 z 的传递函数的 H ∞ 范数小于 1 的充分必要条件
所以针对H∞输出反馈的闭环系统有LMI(非线性)：
但是可以看到，由于Acl、Bcl、Ccl、Dcl等的存在，使得上述LMI为非线性，MATLAB计算非常困难，所以需要转化成线性矩阵，主要有两种方法：消去法和变量替代法。
2.2 消去法
定义矩阵
则闭环系统表示为：
进而上述的非线性LMI转化为：
通过消去引理、舒尔补引理等得到输出反馈LMI（线性）:
其中:
控制器K便可以获得。
2.3 变量替代法
为了找到一个适当的变量替换，能够将矩阵不等式非线性的LMI转化为一个等价的线性矩阵不等式。结合以上得到的关系式，定义以下的变量替换公式：
可以看到，只要在确定M和N的前提下，从定义的变量替换公式可以确定控制器参数。
所以非线性的LMI转化为：
现在求出M、N就能确定控制器参数了。
可以通过矩阵 I - XY 的奇异值分解来得到满秩矩阵 M 和N 。X cl > 0保证了：
由此可得 I - XY > 0，所以M、N总是可以通过奇异值分解得到。
控制器参数矩阵可以通过以下的公式得到：
所以通过变量替代法将上述非线性LMI输出反馈问题转化为如下线性LMI问题：
可得控制器：
如上的控制器是状态空间的实行，实际上可以通过K = pck(Ak,Bk,Ck,Dk)指令得到一个增益的形式，pck是matlab的一个将状态空间转化为系统矩阵的函数，其格式为：sys = pck(a,b,c,d)。
3.例子
3.1 程序
a = [0 1 ;-6 -5];b1 = [1;0];b2 = [0;1];
c1 = [1 0];d11 = 0;d12 = 0;
c2 = [1 0];d21 = 1;d22 = 0;
P = ltisys(a,[b1 b2],[c1;c2],[d11 d12;d21 d22]);%开环广义系统
[gopt,K] = hinflmi(P,[1 1])%H∞最优输出反馈控制器
[ak,bk,ck,dk] = ltiss(K);%控制器的状态空间形式
K = pck(ak,bk,ck,dk)3.2 运行结果
K =
1.0e+08 *
-0.5040 -6.7146 0.0000 0.0000
0.0367 0.4894 0.0000 0
-0.5074 -6.7603 0 0
0 0 0 -Inf
K =
1.0e+08 *
-0.5040 -6.7146 0.0000 0.0000
0.0367 0.4894 0.0000 0
-0.5074 -6.7603 0 0
0 0 0 -Inf
可以看到通过输出反馈hinflmi函数求出来的反馈增益K，与分解之后通过pck将控制器矩阵参数转化为增益形式的K结果相同。
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注：仅为便利自己学习和学术交流使用，错误在所难免，如有兴趣的学者可以参考交流，如果侵权，立马删，谢谢！
参考资料：
《线性矩阵不等式---俞立》文章来源：https://www.uudwc.com/A/rX96M/
