无穷级数(数学一)

一、级数判敛

1、抽象型级数判敛(选择题)

(1)常用结论:

        1、绝对收敛 +\- 绝对收敛 = 绝对收敛

        2、绝对收敛 +\- 条件收敛 = 条件收敛

        3、条件收敛 +\- 条件收敛 = 收敛

        4、若\sum u_{n}收敛,则\sum u_{2n-1}+u_{2n}收敛,但\sum u_{2n-1}-u_{2n}不确定

        5、发散+发散 = 不确定

(2)?比较审敛法

基本不等式:a_n^2 + b_n^2 \leq (a_n + b_n)^2  、2\sqrt{a_nb_n} \leq a_n + b_n

重要尺度:\frac{1}{n},\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{nlnn},\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}


\sum |b_n|绝对收敛可以推\sum b_n收敛,但\sum |b_n|发散无法得知\sum b_n发散

对于C、因为lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0,所以,{|a_n|}必定存在下界M,|a_nb_n| \leq M|b_n|,由比较审敛法可以得级数收敛。


2、具体级数判敛

(1)交错级数:?只可能绝对收敛或者发散,用不了莱布尼兹就必定绝对收敛

*莱布尼兹判敛法(充分不必要条件)

        在证明u_{n+1} \leq u_n时,可以构造函数、利用初等不等式

*绝对收敛:绝对收敛➡️原级数收敛

(2)正项级数:比较审敛法+放缩\常用尺度(大收小收,小散大散),极限审敛法(sinx,cosx,n!)积分判别法(常规难做的),根值判别法(n次方

(3)等价无穷小之间敛散性相同(利用泰勒公式)tanx,e^x,sinx

(4)前n项和极限存在,级数收敛(充分必要条件)


等价无穷小同敛散

\sum |\frac{n+a}{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}|\frac{1}{\sqrt{n}}是等价无穷小,敛散性相同,所以发散,排除A,D

由莱布尼兹得知,\sum (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} ,\sum (-1)^n(a-1)\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}收敛,所以条件收敛


二、求和函数及展开

1、求和函数

(1)先积后导,先导后积,泰勒公式

(2)解线性微分方程


解线性方程求和函数


2、求和

3、和函数的展开

(1)在x = x0处展开

麦克劳林公式:

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n(还可以用于求f的n阶导)

(2)直接用泰勒展开


三、求收敛域、收敛区间

1)收敛域要判断端点敛散性

(2)lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \rightarrow R = \frac{1}{\rho},反向是无法推出来的。也就是说可能存在收敛半径,但极限不存在。

(3)可以适用根值法

(4)非幂级数的收敛域,换元,转换为幂级数

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四、傅里叶级数

a_n = \frac{1}{l} \int_{l}^{-l}f(x)cos\frac{n\pi}{l}x, b_n = \frac{1}{l} \int_{l}^{-l}f(x)sin\frac{n\pi}{l}x\\\\f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum(a_ncos\frac{n\pi}{l}x + b_nsin\frac{n\pi}{l}x)文章来源地址https://www.uudwc.com/A/qR9Ap/

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