参考文献:
- Deitmar A. A first course in harmonic analysis[M]. 2005.
- Ideal quotient | encyclopedia article by TheFreeDictionary
- Fractional ideal | encyclopedia article by TheFreeDictionary
- Pontryagin duality | encyclopedia article by TheFreeDictionary
- Algebraic number field | encyclopedia article by TheFreeDictionary
- Duality and Subgroups on JSTOR
- 群的对偶 - 知乎 (zhihu.com)
- 格密码1.6 对偶空间与对偶格 - 知乎 (zhihu.com)
- 对偶空间(1):空间、基与映射 - 知乎 (zhihu.com)
- 关于对偶格(dual lattice)的解释 - 知乎 (zhihu.com)
- 交换环论(6) 诺特环 - 知乎 (zhihu.com)
- 交换环论(8):戴德金整环 - 知乎 (zhihu.com)
- 【抽象代数】18. 模的直积与直和,自由模与投射模 - 知乎 (zhihu.com)
- 连续映射和同胚 - 知乎 (zhihu.com)
- 度量空间(metric space)-CSDN博客
- 代数结构:模(Module)-CSDN博客
- 代数几何:不可约簇-素理想 -CSDN博客
文章目录
- 分式理想
- 对偶群
- 有限群的对偶
- 紧凑性 & LCA 群
- LCA 群的对偶
- 对偶空间
- 对偶格
分式理想
令 R R R 是一个整环,它的分式域(field of fractions)记为 q f ( R ) : = { a b ∣ a , b ∈ R } qf(R):=\{\dfrac{a}{b}|a,b \in R\} qf(R):={ba∣a,b∈R}
分式理想(fractional ideal):它是 q f ( R ) qf(R) qf(R) 的一个 R R R-子模 I I I,存在环元素 r ∈ R r \in R r∈R,使得 r I ⊆ R rI \subseteq R rI⊆R 是一个(整,integral)理想。
主分式理想(principal):作为 R R R-子模,由分式域单个元素 x ∈ q f ( R ) x \in qf(R) x∈qf(R) 生成,形如 I = R x I=Rx I=Rx
注意集合 I ⊆ q f ( R ) I \subseteq qf(R) I⊆qf(R) 并不是分式域(只有平凡理想)的理想。取 r = e r=e r=e 是幺元,所有的(整)理想可视为特殊的分式理想。如果 x ∈ R x \in R x∈R 使得 I = R x I=Rx I=Rx,那么它是(整)主理想。被整环 R R R 所包含的分式理想就是(整)理想。
类似于理想的和、交、积,定义整环
R
R
R 分式理想
I
,
J
I,J
I,J 的运算,
I
+
J
:
=
{
a
+
b
∣
a
∈
I
,
b
∈
J
}
I
J
:
=
{
∏
i
=
1
n
a
i
b
i
∣
a
i
∈
I
,
b
i
∈
J
,
n
∈
Z
+
}
I
∩
J
:
=
{
a
∣
a
∈
I
,
a
∈
J
}
\begin{aligned} I+J &:= \{a+b| a \in I,b \in J\}\\ IJ &:= \{\prod_{i=1}^na_ib_i| a_i \in I,b_i \in J,n \in \mathbb Z^+\}\\ I \cap J &:= \{a|a \in I,a \in J\} \end{aligned}
I+JIJI∩J:={a+b∣a∈I,b∈J}:={i=1∏naibi∣ai∈I,bi∈J,n∈Z+}:={a∣a∈I,a∈J}
另外,我们定义分式理想的形式商(formal quotient),
(
J
:
I
)
:
=
{
a
∈
q
f
(
R
)
∣
a
I
⊆
J
}
(J:I) := \{a \in qf(R)| aI \subseteq J\}
(J:I):={a∈qf(R)∣aI⊆J}
易知
I
(
J
:
I
)
⊆
J
I(J:I) \subseteq J
I(J:I)⊆J。形式商
(
J
:
I
)
(J:I)
(J:I) 是
R
R
R-子模,不一定是分式理想;如果
I
,
J
I,J
I,J 都是(整)理想,则
(
J
:
I
)
(J:I)
(J:I) 也是理想。如果存在分式理想
J
J
J 使得
I
J
=
R
IJ=R
IJ=R,我们称分式理想
I
I
I 是可逆的(invertible ideal)。无论分式理想
I
I
I 是否可逆,我们定义它的形式逆,
I
−
1
:
=
(
R
:
I
)
I^{-1}:=(R:I)
I−1:=(R:I)
零理想 O O O 的形式逆就是分式域 q f ( R ) qf(R) qf(R)(不是分式理想),非零分式理想 I ≠ O I \neq O I=O 的形式逆是分式理想(且 I − 1 I ⊆ R I^{-1}I \subseteq R I−1I⊆R 是理想)。
对于任意整环 R R R,有如下性质
-
分式域 q f ( R ) qf(R) qf(R) 任意有限生成的 R R R-子模,都是分式理想
-
如果 I I I 是有限生成的,那么任意的 ( J : I ) (J:I) (J:I) 是分式理想(于是 I − 1 I^{-1} I−1 是逆理想)
-
所有可逆分式理想,都是有限生成的
-
I + J I+J I+J 和 I J IJ IJ 都还是分式理想,但是 I ∩ J I \cap J I∩J 不一定
-
令 x ∈ q f ( R ) x \in qf(R) x∈qf(R),主分式理想 I = R x I=Rx I=Rx 可逆,逆理想是 I − 1 = R x − 1 I^{-1}=Rx^{-1} I−1=Rx−1
-
非零分式理想 I I I 可逆,当仅当 I ⊆ q f ( R ) I \subseteq qf(R) I⊆qf(R) 是投射模
-
自由模(free): R R R-模 M M M 有一组基(basis, R R R-线性无关的有限生成元)
-
投射模(projective):投射模 P P P,对于任意的两个模 M , N M,N M,N 以及满的模同态 σ : M → N \sigma:M \to N σ:M→N,对于任意模同态 ϕ : P → N \phi:P \to N ϕ:P→N,都存在模同态 ψ \psi ψ 使得 σ ∘ ψ = ϕ \sigma \circ \psi=\phi σ∘ψ=ϕ
-
R R R-模 P P P 是投射的,当仅当存在自由模 F F F 和模同态 α : F → P , β : P → F \alpha:F \to P, \beta:P \to F α:F→P,β:P→F 满足 α ∘ β = 1 P \alpha \circ \beta=1_P α∘β=1P
-
投射模可以写成自由模的直和
-
对于特殊的环,有如下性质
- 如果
R
R
R 是诺特环,那么任意的分式理想都是有限生成的
- 诺特环(Noetherian):交换环 R R R 的所有(整)理想都是有限生成的(finitely generated)
- 如果
R
R
R 是局部环,那么任意的分式理想都是主的
- 局部环(Local):交换环 R R R 只有唯一的极大理想
令 F ( R ) \mathcal F(R) F(R) 是所有非零分式理想的收集,令 P ( R ) \mathcal P(R) P(R) 是所有可逆分式理想的收集,令 P r i n ( R ) Prin(R) Prin(R) 是所有主分式理想的收集。关于分式理想的积:
- F ( R ) \mathcal F(R) F(R) 是交换的含幺半群(封闭、结合),幺元 R R R
- P ( R ) \mathcal P(R) P(R) 是阿贝尔群(封闭、结合、含幺、可逆), P r i n ( R ) Prin(R) Prin(R) 是其子群
戴德金整环(Dedekind domains):整环 R R R 的所有非零分式理想都是可逆的
- 数域 K K K 的整数环 O K \mathcal O_K OK 是戴德金整环
- 整数环(ring of integer):有限代数扩域 K = Q ( e 1 , ⋯ , e n ) K=\mathbb Q(e_1,\cdots,e_n) K=Q(e1,⋯,en) 中所有的整数元素 z 1 e 1 + ⋯ z n e n , ∀ z i ∈ Z z_1e_1+\cdots z_n e_n,\forall z_i \in \mathbb Z z1e1+⋯znen,∀zi∈Z 组成的环,记为 O K \mathcal O_K OK
- Gaussian rationals Q ( i ) \mathbb Q(i) Q(i),Cyclotomic field Q ( ζ n ) \mathbb Q(\zeta_n) Q(ζn)
- square-free 的整数 d d d(任意的 s 2 ∣ d s^2|d s2∣d 都有 s ∈ R s \in R s∈R 属于单位),Quadratic field Q ( d ) \mathbb Q(\sqrt d) Q(d),
对偶群
有限群的对偶
令 G G G 是有限阿贝尔群, T = { e 2 π i x ∣ x ∈ R } ⊆ C \mathbb T=\{e^{2\pi ix}|x \in \mathbb R\} \subseteq \mathbb C T={e2πix∣x∈R}⊆C 是单位环面(unit torus,连续的乘法群),包含单位循环群 ∀ n , ( ζ n ) ⊆ T \forall n,(\zeta_n) \subseteq \mathbb T ∀n,(ζn)⊆T。这儿的 T \mathbb T T 是不是同构于实数环面 R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z(real torus,它是 Z \mathbb Z Z-模)啊?
特征(character)是一个群同态
χ
:
G
→
T
\chi: G \to \mathbb T
χ:G→T,
χ
(
a
b
)
=
χ
(
a
)
χ
(
b
)
\chi(ab) = \chi(a)\chi(b)
χ(ab)=χ(a)χ(b)
令集合
G
^
\hat G
G^ 是所有特征的收集,我们定义群同态的乘法(pointwise product)
(
χ
,
η
)
↦
χ
η
(\chi,\eta) \mapsto \chi\eta
(χ,η)↦χη,
χ
η
(
a
)
=
χ
(
a
)
η
(
a
)
,
∀
a
∈
G
\chi\eta(a) = \chi(a)\eta(a),\,\, \forall a \in G
χη(a)=χ(a)η(a),∀a∈G
对偶群(dual group):代数结构 ( G ^ , ⋅ ) (\hat G,\cdot) (G^,⋅) 成为一个阿贝尔群,也称为 Pontryagin dual
对于循环群
G
=
(
g
)
G=(g)
G=(g),如果
o
r
d
(
g
)
=
N
ord(g)=N
ord(g)=N,那么群同态
χ
l
(
g
)
=
ζ
N
l
,
l
=
0
,
1
,
⋯
,
N
−
1
\chi_l(g) = \zeta_N^l,\,\, l=0,1,\cdots,N-1
χl(g)=ζNl,l=0,1,⋯,N−1
就是全部的特征,对偶群 G ^ = ( χ 1 ) \hat G=(\chi_1) G^=(χ1) 也是 N N N 阶循环群,于是有 G ≅ G ^ G \cong \hat G G≅G^
双对偶(bidual):映射
A
→
A
^
^
A \to \widehat{\hat A}
A→A^
定义为
a
↦
δ
a
a \mapsto \delta_a
a↦δa,其中
δ
a
\delta_a
δa 是群同态
δ
a
:
A
^
→
T
χ
↦
χ
(
a
)
\begin{aligned} \delta_a: \hat A &\to \mathbb T\\ \chi &\mapsto \chi(a) \end{aligned}
δa:A^χ→T↦χ(a)
那么映射 A → A ^ ^ A \to \widehat{\hat A} A→A^ 是一个典范群同构(canonical isomorphism)
紧凑性 & LCA 群
度量空间(metric space):集合 X X X 及其度量 d d d 组成的结构 ( X , d ) (X,d) (X,d)
对于集合中的(无限)序列
(
x
n
)
⊆
X
(x_n) \subseteq X
(xn)⊆X,我们说它收敛(converge)于
x
∈
X
x \in X
x∈X,如果
∀
ϵ
>
0
,
∃
N
∈
Z
,
∀
n
>
N
,
d
(
x
n
,
x
)
<
ϵ
\forall \epsilon>0,\exists N \in \mathbb Z,\forall n>N,d(x_n,x) < \epsilon
∀ϵ>0,∃N∈Z,∀n>N,d(xn,x)<ϵ
两个度量空间
X
,
Y
X,Y
X,Y 之间的映射
f
:
X
→
Y
f:X \to Y
f:X→Y,我们说它是连续的(continuous),如果它:把收敛序列映射到收敛序列,并保持极限
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
lim
n
→
∞
x
n
)
\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty} x_n)
n→∞limf(xn)=f(n→∞limxn)
我们说两个度量 d 1 , d 2 d_1,d_2 d1,d2 是等价的(equivalent),如果对于所有的 ( x n ) (x_n) (xn),都有: ( x n ) (x_n) (xn) 在 d 1 d_1 d1 下收敛 ⟺ \iff ⟺ ( x n ) (x_n) (xn) 在 d 2 d_2 d2 下收敛,记为 d 1 ∼ d 2 d_1 \sim d_2 d1∼d2
同胚(homeomorphism):也称为双连续函数(bi continuous)。拓扑空间(topological space) ( X , O X ) , ( Y , O Y ) (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) (X,OX),(Y,OY) 上的函数 f : X → Y f:X \to Y f:X→Y,满足三条性质: f f f 是双射, f f f 是连续函数, f − 1 f^{-1} f−1 是连续函数。
对于度量空间
(
X
,
d
)
(X,d)
(X,d) 上的自同胚
f
:
X
→
X
f:X \to X
f:X→X,那么定义新的度量
d
′
(
x
,
y
)
:
=
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
d'(x,y):=d(f(x),f(y))
d′(x,y):=d(f(x),f(y))
它满足 d ′ ∼ d d' \sim d d′∼d 等价。
由于 f ( x ) = x / ( x + 1 ) f(x)=x/(x+1) f(x)=x/(x+1) 是 [ 0 , ∞ ) → [ 0 , 1 ) [0,\infty) \to [0,1) [0,∞)→[0,1) 上的单调同胚,那么:任何度量 d d d,都存在一个等价度量 d ′ ( x , y ) : = d ( x , y ) d ( x , y ) + 1 d'(x,y):=\dfrac{d(x,y)}{d(x,y)+1} d′(x,y):=d(x,y)+1d(x,y),使得 I m ( d ′ ) = [ 0 , 1 ) Im(d')=[0,1) Im(d′)=[0,1)。我们根据等价关系,将所有的度量 d d d 划分为等价类 [ d ] [d] [d],我们称 ( X , [ d ] ) (X,[d]) (X,[d]) 是可度量空间(metrizable space)
一个可度量空间 ( X , [ d ] ) (X,[d]) (X,[d]) 是紧凑的(compact),如果任意的序列 ( x n ) (x_n) (xn),都包含一个收敛的子序列(从 x n x_n xn 中无限的挑选一些点)。例子: R n \mathbb R^n Rn 的有界闭子集;离散空间是紧凑的,当仅当它是有限的。
两个更弱的紧凑性:
- 我们说 X X X 是 σ \sigma σ-紧的,如果存在一个紧子集序列 K n ⊂ K n + 1 K_n \subset K_{n+1} Kn⊂Kn+1 使得 X = ⋃ n K n X=\bigcup_n K_n X=⋃nKn,这个序列 ( K n ) (K_n) (Kn) 叫做 compact exhaustion。易知 R \mathbb R R 可以选取 K n = [ − n , n ] K_n=[-n,n] Kn=[−n,n],可数的离散空间也存在这种序列。
- 我们说 X X X 是 局部紧的(locally compact),如果对于任意点 x ∈ X x \in X x∈X,存在 r > 0 r>0 r>0 使得闭球 B ˉ r ( x ) \bar B_r(x) Bˉr(x) 是紧凑的。例子:空间 R n \mathbb R^n Rn、离散空间;反例:无限维 Hilbert 空间。
- 如果度量空间同时 σ \sigma σ-紧、局部紧,则称为 σ \sigma σ-局部紧。例子: R \mathbb R R, R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z,可数的离散空间。
可度量阿贝尔群(metrizable abelian group):阿贝尔群 A A A,度量等价类 [ d ] [d] [d],并满足 ( x , y ) ↦ x y (x,y) \mapsto xy (x,y)↦xy 以及 x ↦ x − 1 x \mapsto x^{-1} x↦x−1 都是连续函数(把收敛序列映射到收敛序列,并保持极限)
LCA 群:可度量的 σ \sigma σ-局部紧的阿贝尔群。例子:可数的阿贝尔群 + 离散度量,实数域 R \mathbb R R,实数环面 R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z
-
一个 compact exhaustion 序列 ( K n ) (K_n) (Kn) 称为吸收的(absorbing),如果对于任意的紧凑子集 K ⊂ A K \subset A K⊂A,都存在某个 n ∈ N n \in \mathbb N n∈N 使得 K ⊂ K n K \subset K_n K⊂Kn
LCA 群总是包含一个 absorbing exhaustion
-
可度量空间的子集 D ⊂ X D \subset X D⊂X 称为稠密的(dense subset),对于任意的 x ∈ X x \in X x∈X,总存在 x n ∈ D x_n \in D xn∈D 使得序列 ( x n ) (x_n) (xn) 收敛于 x x x
LCA 群总是包含一个可数的稠密子集
注意,连续函数、稠密子集,都是相对于 “收敛序列” 来说的,其不同点之间的测度 d ( x , y ) d(x,y) d(x,y) 可以是离散的,只要 n → ∞ n \to \infty n→∞ 时度量趋于 0 0 0 即可。
LCA 群的对偶
令 A A A 是 LCA 群,特征定义为连续群同态 χ : A → T \chi:A \to \mathbb T χ:A→T(把收敛序列映射到收敛序列,并保持极限)。所有特征的收集 A ^ \hat A A^,附带上乘法乘法 χ η ( a ) = χ ( a ) η ( a ) \chi\eta(a) = \chi(a)\eta(a) χη(a)=χ(a)η(a),称为对偶群。
- 群 Z \mathbb Z Z 的特征: x ↦ e 2 π i x y , y ∈ R / Z x \mapsto e^{2\pi i xy},\,\, y \in \mathbb R/\mathbb Z x↦e2πixy,y∈R/Z,于是有 Z ^ ≅ R / Z \hat{\mathbb Z} \cong \mathbb R/\mathbb Z Z^≅R/Z
- 群 R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z 的特征: x ↦ e 2 π i x y , y ∈ Z x \mapsto e^{2\pi i xy},\,\, y \in \mathbb Z x↦e2πixy,y∈Z,于是有 R / Z ^ ≅ Z \widehat{\mathbb R/\mathbb Z} \cong \mathbb Z R/Z ≅Z
- 群 R \mathbb R R 的特征: x ↦ e 2 π i x y , y ∈ R x \mapsto e^{2\pi i xy},\,\, y \in \mathbb R x↦e2πixy,y∈R,于是有 R ^ ≅ R \hat{\mathbb R} \cong \mathbb R R^≅R
LAC 群的对偶,依然是 LAC 群。给定
A
A
A 的一个 absorbing compact exhaustion
A
=
⋃
n
K
n
A=\bigcup_n K_n
A=⋃nKn,对于对偶群中的元素
χ
,
η
\chi,\eta
χ,η,定义
A
^
\hat A
A^ 的度量为:
d
^
n
(
χ
,
η
)
=
sup
x
∈
K
n
∣
χ
(
x
)
−
η
(
x
)
∣
d
^
(
χ
,
η
)
=
∑
n
d
^
n
(
χ
,
η
)
2
n
\hat d_n(\chi,\eta) = \sup_{x\in K_n} |\chi(x)-\eta(x)|\\ \hat d(\chi,\eta) = \sum_n \dfrac{\hat d_n(\chi,\eta)}{2^n}
d^n(χ,η)=x∈Knsup∣χ(x)−η(x)∣d^(χ,η)=n∑2nd^n(χ,η)
群同构 R / Z → Z ^ \mathbb R/\mathbb Z \to \widehat{\mathbb Z} R/Z→Z , Z → R / Z ^ \mathbb Z \to \widehat{\mathbb R/\mathbb Z} Z→R/Z , R → R ^ \mathbb R \to \widehat{\mathbb R} R→R 都是同胚(双连续的)。
令 A A A 是 LCA 群( σ \sigma σ-紧 + 局部紧):如果 A A A 紧凑(compact),那么 A ^ \hat A A^ 离散(discrete);如果 A A A 离散,那么 A ^ \hat A A^ 紧凑。
Pontryagin Duality:任意的 LAC 群,典范同构于它的 bidual,映射
A
→
A
^
^
A \to \widehat{\hat A}
A→A^
定义为
a
↦
δ
a
,
δ
a
(
χ
)
=
χ
(
a
)
a \mapsto \delta_a,\,\, \delta_a(\chi)=\chi(a)
a↦δa,δa(χ)=χ(a)
它是两个 LCA 群 A ≅ A ^ ^ A \cong \widehat{\hat A} A≅A^ 之间的群同态。
Pontryagin Duality theorem:一个 LCA 群
G
G
G,令
H
⊂
G
H \subset G
H⊂G 是闭子群(closed subgroup),令
H
⊥
⊂
G
^
H^\perp \subset \hat G
H⊥⊂G^ 是对偶群的闭子群,则对偶关系
⋅
^
\hat \cdot
⋅^ 定义了子群和商群之间的双射,
H
^
=
G
^
/
H
⊥
,
G
/
H
^
=
H
⊥
\hat H = \hat G/H^\perp,\,\, \widehat{G/H}=H^\perp
H^=G^/H⊥,G/H
=H⊥
对偶空间
设
V
V
V 是域
F
\mathbb F
F 上的线性空间(阿贝尔群,
F
\mathbb F
F-模),线性泛函(linear functional)是线性映射
V
→
F
V \to \mathbb F
V→F,定义运算
(
α
+
β
)
(
v
)
=
α
(
v
)
+
β
(
v
)
(
k
α
)
(
v
)
=
k
⋅
α
(
v
)
(\alpha+\beta)(v)=\alpha(v)+\beta(v)\\ (k\alpha)(v)=k \cdot \alpha(v)
(α+β)(v)=α(v)+β(v)(kα)(v)=k⋅α(v)
对偶空间(dual space):令 V ∗ = H o m ( V , F ) V^*=Hom(V,\mathbb F) V∗=Hom(V,F) 是所有线性泛函的收集,容易验证它构成线性空间。
对偶基(dual basis):对于有限维的空间 dim V = n \dim V=n dimV=n,如果 e i e_i ei 是 V V V 的一组基,那么 α i \alpha^i αi 是 V ∗ V^* V∗ 的一组基,其中 α i ( e j ) = δ i j \alpha^i(e_j)=\delta_{ij} αi(ej)=δij,这里 δ i j \delta_{ij} δij 是示性函数。可以验证 dim V = dim V ∗ \dim V = \dim V^* dimV=dimV∗,于是 V ≅ V ∗ V \cong V^* V≅V∗,同构 e i ↦ α i e_i \mapsto \alpha^i ei↦αi
对偶映射(dual map):两个空间
V
,
W
V,W
V,W 之间的线性映射
f
:
V
→
W
f:V \to W
f:V→W,它们对偶空间中的
α
:
V
→
F
,
β
:
W
→
F
\alpha:V \to \mathbb F, \beta:W \to \mathbb F
α:V→F,β:W→F 可以被映射
f
∗
:
W
∗
→
V
∗
f^*:W^* \to V^*
f∗:W∗→V∗ 关联,定义为
f
∗
(
β
)
=
β
∘
f
f^*(\beta)=\beta \circ f
f∗(β)=β∘f,它也是线性映射,并且满足
(
f
+
g
)
∗
=
f
∗
+
g
∗
(
k
f
)
∗
=
k
f
∗
(
f
g
)
∗
=
g
∗
f
∗
(f+g)^* = f^*+g^*\\ (kf)^* = kf^*\\ (fg)^* = g^*f^*
(f+g)∗=f∗+g∗(kf)∗=kf∗(fg)∗=g∗f∗
线性空间到其 bidual 的映射
ϕ
:
V
→
(
V
∗
)
∗
\phi:V \to (V^*)^*
ϕ:V→(V∗)∗,使之满足
(
ϕ
(
v
)
)
(
α
)
=
α
(
v
)
(\phi(v))(\alpha)=\alpha(v)
(ϕ(v))(α)=α(v)
可以证明它是单射,且其构造不依赖于基的选取的单射,称为典范单射(canonical injection)。对于有限维 dim V = dim ( V ∗ ) ∗ \dim V = \dim (V^*)^* dimV=dim(V∗)∗,映射 ϕ \phi ϕ 也是双射(无限维的不是),称为典范同构(canonical isomorphism)。 V ≅ V ∗ V \cong V^* V≅V∗ 不是典范的,而 V ≅ ( V ∗ ) ∗ V \cong (V^*)^* V≅(V∗)∗ 是典范的。
固定映射,原像和像具有某种 “映射” 关系(每个原像只对应一个像);同样的,当我们固定原像时,映射和像也存在某种映射关系。于是,原像和映射之间存在某种对称关系,我们将这种对称关系称为 “对偶”,将其所在的空间抽象为对偶空间。
对偶关系是对称的,可以将线性泛函记作 f ( x ) = ⟨ f , x ⟩ f(x) = \langle f,x \rangle f(x)=⟨f,x⟩ 更好地表示其双线性(Bilinear)。对于有限维的线性空间 V V V,其对偶空间 V ∗ V^* V∗ 与之同构,可以不严谨地将 x ∈ V x \in V x∈V 和 f ∈ V ∗ f \in V^* f∈V∗ 放在同一个空间中。
对偶格
格(lattice)是线性空间 R m \mathbb R^m Rm 中的离散子空间,于是它是一个线性空间(无限的阿贝尔群)。
格
Λ
⊆
R
m
\Lambda \subseteq \mathbb R^m
Λ⊆Rm ,格基
B
∈
R
m
×
n
B \in \mathbb R^{m \times n}
B∈Rm×n,
dim
Λ
=
n
≤
m
\dim \Lambda=n \le m
dimΛ=n≤m,它的对偶定义为集合
Λ
⊥
=
{
y
∈
S
p
a
n
(
Λ
)
:
∀
x
∈
Λ
,
⟨
x
,
y
⟩
∈
Z
}
\Lambda^\perp=\{y \in Span(\Lambda):\forall x \in \Lambda,\langle x,y \rangle \in \mathbb Z\}
Λ⊥={y∈Span(Λ):∀x∈Λ,⟨x,y⟩∈Z}
它是对偶格(dual lattice),格基 D = B ( B T B ) − 1 ∈ R m × n D=B(B^TB)^{-1} \in \mathbb R^{m \times n} D=B(BTB)−1∈Rm×n,易知 dim Λ ⊥ = dim Λ \dim \Lambda^\perp = \dim \Lambda dimΛ⊥=dimΛ
两者的关系:文章来源:https://www.uudwc.com/A/aYDXR/
- 格基互为伪逆, B T D = D T B = I B^TD=D^TB=I BTD=DTB=I
- 常数 c > 0 c >0 c>0,那么 ( c ⋅ Λ ) ⊥ = 1 c ⋅ Λ (c\cdot\Lambda)^\perp = \dfrac{1}{c} \cdot \Lambda (c⋅Λ)⊥=c1⋅Λ
- 如果 S p a n ( Λ 1 ) = S p a n ( Λ 1 ) Span(\Lambda_1) = Span(\Lambda_1) Span(Λ1)=Span(Λ1),那么 Λ 1 ⊆ Λ 2 ⟺ Λ 1 ⊥ ⊇ Λ 2 ⊥ \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2 \iff \Lambda_1^\perp \supseteq \Lambda_2^\perp Λ1⊆Λ2⟺Λ1⊥⊇Λ2⊥
- 格越稀疏,其对偶越密集, det ( Λ ⊥ ) = 1 / det ( Λ ) \det(\Lambda^\perp) = 1/\det(\Lambda) det(Λ⊥)=1/det(Λ)
- 与对偶空间不同,格的 bidual 恰好是本身, ( Λ ⊥ ) ⊥ = Λ (\Lambda^\perp)^\perp = \Lambda (Λ⊥)⊥=Λ
对偶格的理解,文章来源地址https://www.uudwc.com/A/aYDXR/
- 视为 LAC 群:线性空间 G = R m G=\mathbb R^m G=Rm 是一个 LAC 群,格 Λ \Lambda Λ 是一个闭子群,考虑商群 P = G / Λ \mathcal P=G/\Lambda P=G/Λ(格的 Parallelepiped)。根据 Pontryagin 对偶定理,对偶格 Λ ⊥ \Lambda^\perp Λ⊥ 定义为:满足 P ^ ≅ Λ ⊥ \hat{\mathcal P} \cong \Lambda^\perp P^≅Λ⊥ 的对偶群闭子群 Λ ⊥ ⊂ G ^ \Lambda^\perp \subset \hat G Λ⊥⊂G^
- 视为对偶空间:离散子空间 Λ ⊂ R m \Lambda \subset \mathbb R^m Λ⊂Rm 是一个 Z \mathbb Z Z-子模,所有的线性映射 y : x ∈ Λ ↦ ⟨ x , y ⟩ ∈ Z y: x \in \Lambda \mapsto \langle x,y\rangle \in \mathbb Z y:x∈Λ↦⟨x,y⟩∈Z 组成了对偶空间 H o m ( R m , R ) Hom(\mathbb R^m,\mathbb R) Hom(Rm,R) 的离散 Z \mathbb Z Z-子模,定义为对偶格。