分式理想 & 对偶群 & 对偶空间

参考文献:

  1. Deitmar A. A first course in harmonic analysis[M]. 2005.
  2. Ideal quotient | encyclopedia article by TheFreeDictionary
  3. Fractional ideal | encyclopedia article by TheFreeDictionary
  4. Pontryagin duality | encyclopedia article by TheFreeDictionary
  5. Algebraic number field | encyclopedia article by TheFreeDictionary
  6. Duality and Subgroups on JSTOR
  7. 群的对偶 - 知乎 (zhihu.com)
  8. 格密码1.6 对偶空间与对偶格 - 知乎 (zhihu.com)
  9. 对偶空间(1):空间、基与映射 - 知乎 (zhihu.com)
  10. 关于对偶格(dual lattice)的解释 - 知乎 (zhihu.com)
  11. 交换环论(6) 诺特环 - 知乎 (zhihu.com)
  12. 交换环论(8):戴德金整环 - 知乎 (zhihu.com)
  13. 【抽象代数】18. 模的直积与直和,自由模与投射模 - 知乎 (zhihu.com)
  14. 连续映射和同胚 - 知乎 (zhihu.com)
  15. 度量空间(metric space)-CSDN博客
  16. 代数结构:模(Module)-CSDN博客
  17. 代数几何:不可约簇-素理想 -CSDN博客

文章目录

  • 分式理想
  • 对偶群
    • 有限群的对偶
    • 紧凑性 & LCA 群
    • LCA 群的对偶
  • 对偶空间
  • 对偶格

分式理想

R R R 是一个整环,它的分式域(field of fractions)记为 q f ( R ) : = { a b ∣ a , b ∈ R } qf(R):=\{\dfrac{a}{b}|a,b \in R\} qf(R):={baa,bR}

分式理想(fractional ideal):它是 q f ( R ) qf(R) qf(R) 的一个 R R R-子模 I I I,存在环元素 r ∈ R r \in R rR,使得 r I ⊆ R rI \subseteq R rIR 是一个(整,integral)理想。

主分式理想(principal):作为 R R R-子模,由分式域单个元素 x ∈ q f ( R ) x \in qf(R) xqf(R) 生成,形如 I = R x I=Rx I=Rx

注意集合 I ⊆ q f ( R ) I \subseteq qf(R) Iqf(R) 并不是分式域(只有平凡理想)的理想。取 r = e r=e r=e 是幺元,所有的(整)理想可视为特殊的分式理想。如果 x ∈ R x \in R xR 使得 I = R x I=Rx I=Rx,那么它是(整)主理想。被整环 R R R 所包含的分式理想就是(整)理想。

类似于理想的和、交、积,定义整环 R R R 分式理想 I , J I,J I,J 的运算,
I + J : = { a + b ∣ a ∈ I , b ∈ J } I J : = { ∏ i = 1 n a i b i ∣ a i ∈ I , b i ∈ J , n ∈ Z + } I ∩ J : = { a ∣ a ∈ I , a ∈ J } \begin{aligned} I+J &:= \{a+b| a \in I,b \in J\}\\ IJ &:= \{\prod_{i=1}^na_ib_i| a_i \in I,b_i \in J,n \in \mathbb Z^+\}\\ I \cap J &:= \{a|a \in I,a \in J\} \end{aligned} I+JIJIJ:={a+baI,bJ}:={i=1naibiaiI,biJ,nZ+}:={aaI,aJ}

另外,我们定义分式理想的形式商(formal quotient),
( J : I ) : = { a ∈ q f ( R ) ∣ a I ⊆ J } (J:I) := \{a \in qf(R)| aI \subseteq J\} (J:I):={aqf(R)aIJ}

易知 I ( J : I ) ⊆ J I(J:I) \subseteq J I(J:I)J。形式商 ( J : I ) (J:I) (J:I) R R R-子模,不一定是分式理想;如果 I , J I,J I,J 都是(整)理想,则 ( J : I ) (J:I) (J:I) 也是理想。如果存在分式理想 J J J 使得 I J = R IJ=R IJ=R,我们称分式理想 I I I可逆的(invertible ideal)。无论分式理想 I I I 是否可逆,我们定义它的形式逆
I − 1 : = ( R : I ) I^{-1}:=(R:I) I1:=(R:I)

零理想 O O O 的形式逆就是分式域 q f ( R ) qf(R) qf(R)(不是分式理想),非零分式理想 I ≠ O I \neq O I=O 的形式逆是分式理想(且 I − 1 I ⊆ R I^{-1}I \subseteq R I1IR 是理想)。

对于任意整环 R R R,有如下性质

  1. 分式域 q f ( R ) qf(R) qf(R) 任意有限生成的 R R R-子模,都是分式理想

  2. 如果 I I I 是有限生成的,那么任意的 ( J : I ) (J:I) (J:I) 是分式理想(于是 I − 1 I^{-1} I1 是逆理想)

  3. 所有可逆分式理想,都是有限生成的

  4. I + J I+J I+J I J IJ IJ 都还是分式理想,但是 I ∩ J I \cap J IJ 不一定

  5. x ∈ q f ( R ) x \in qf(R) xqf(R),主分式理想 I = R x I=Rx I=Rx 可逆,逆理想是 I − 1 = R x − 1 I^{-1}=Rx^{-1} I1=Rx1

  6. 非零分式理想 I I I 可逆,当仅当 I ⊆ q f ( R ) I \subseteq qf(R) Iqf(R) 是投射模

    • 自由模(free): R R R-模 M M M 有一组(basis, R R R-线性无关的有限生成元)

    • 投射模(projective):投射模 P P P,对于任意的两个模 M , N M,N M,N 以及满的模同态 σ : M → N \sigma:M \to N σ:MN,对于任意模同态 ϕ : P → N \phi:P \to N ϕ:PN,都存在模同态 ψ \psi ψ 使得 σ ∘ ψ = ϕ \sigma \circ \psi=\phi σψ=ϕ

    • R R R-模 P P P 是投射的,当仅当存在自由模 F F F 和模同态 α : F → P , β : P → F \alpha:F \to P, \beta:P \to F α:FP,β:PF 满足 α ∘ β = 1 P \alpha \circ \beta=1_P αβ=1P

    • 投射模可以写成自由模的直和

对于特殊的环,有如下性质

  1. 如果 R R R 是诺特环,那么任意的分式理想都是有限生成的
    • 诺特环(Noetherian):交换环 R R R 的所有(整)理想都是有限生成的(finitely generated)
  2. 如果 R R R 是局部环,那么任意的分式理想都是主的
    • 局部环(Local):交换环 R R R 只有唯一的极大理想

F ( R ) \mathcal F(R) F(R) 是所有非零分式理想的收集,令 P ( R ) \mathcal P(R) P(R) 是所有可逆分式理想的收集,令 P r i n ( R ) Prin(R) Prin(R) 是所有主分式理想的收集。关于分式理想的积:

  • F ( R ) \mathcal F(R) F(R)交换的含幺半群(封闭、结合),幺元 R R R
  • P ( R ) \mathcal P(R) P(R)阿贝尔群(封闭、结合、含幺、可逆), P r i n ( R ) Prin(R) Prin(R) 是其子群

戴德金整环(Dedekind domains):整环 R R R 的所有非零分式理想都是可逆的

  • 数域 K K K 的整数环 O K \mathcal O_K OK 是戴德金整环
  • 整数环(ring of integer):有限代数扩域 K = Q ( e 1 , ⋯   , e n ) K=\mathbb Q(e_1,\cdots,e_n) K=Q(e1,,en) 中所有的整数元素 z 1 e 1 + ⋯ z n e n , ∀ z i ∈ Z z_1e_1+\cdots z_n e_n,\forall z_i \in \mathbb Z z1e1+znen,ziZ 组成的环,记为 O K \mathcal O_K OK
  • Gaussian rationals Q ( i ) \mathbb Q(i) Q(i),Cyclotomic field Q ( ζ n ) \mathbb Q(\zeta_n) Q(ζn)
  • square-free 的整数 d d d(任意的 s 2 ∣ d s^2|d s2d 都有 s ∈ R s \in R sR 属于单位),Quadratic field Q ( d ) \mathbb Q(\sqrt d) Q(d )

对偶群

有限群的对偶

G G G有限阿贝尔群 T = { e 2 π i x ∣ x ∈ R } ⊆ C \mathbb T=\{e^{2\pi ix}|x \in \mathbb R\} \subseteq \mathbb C T={e2πixxR}C单位环面(unit torus,连续的乘法群),包含单位循环群 ∀ n , ( ζ n ) ⊆ T \forall n,(\zeta_n) \subseteq \mathbb T n,(ζn)T。这儿的 T \mathbb T T 是不是同构于实数环面 R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z(real torus,它是 Z \mathbb Z Z-模)啊?

特征(character)是一个群同态 χ : G → T \chi: G \to \mathbb T χ:GT
χ ( a b ) = χ ( a ) χ ( b ) \chi(ab) = \chi(a)\chi(b) χ(ab)=χ(a)χ(b)

令集合 G ^ \hat G G^ 是所有特征的收集,我们定义群同态的乘法(pointwise product) ( χ , η ) ↦ χ η (\chi,\eta) \mapsto \chi\eta (χ,η)χη
χ η ( a ) = χ ( a ) η ( a ) ,    ∀ a ∈ G \chi\eta(a) = \chi(a)\eta(a),\,\, \forall a \in G χη(a)=χ(a)η(a),aG

对偶群(dual group):代数结构 ( G ^ , ⋅ ) (\hat G,\cdot) (G^,) 成为一个阿贝尔群,也称为 Pontryagin dual

对于循环群 G = ( g ) G=(g) G=(g),如果 o r d ( g ) = N ord(g)=N ord(g)=N,那么群同态
χ l ( g ) = ζ N l ,    l = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 \chi_l(g) = \zeta_N^l,\,\, l=0,1,\cdots,N-1 χl(g)=ζNl,l=0,1,,N1

就是全部的特征,对偶群 G ^ = ( χ 1 ) \hat G=(\chi_1) G^=(χ1) 也是 N N N 阶循环群,于是有 G ≅ G ^ G \cong \hat G GG^

双对偶(bidual):映射 A → A ^ ^ A \to \widehat{\hat A} AA^ 定义为 a ↦ δ a a \mapsto \delta_a aδa,其中 δ a \delta_a δa 是群同态
δ a : A ^ → T χ ↦ χ ( a ) \begin{aligned} \delta_a: \hat A &\to \mathbb T\\ \chi &\mapsto \chi(a) \end{aligned} δaA^χTχ(a)

那么映射 A → A ^ ^ A \to \widehat{\hat A} AA^ 是一个典范群同构(canonical isomorphism)

紧凑性 & LCA 群

度量空间(metric space):集合 X X X 及其度量 d d d 组成的结构 ( X , d ) (X,d) (X,d)

对于集合中的(无限)序列 ( x n ) ⊆ X (x_n) \subseteq X (xn)X,我们说它收敛(converge)于 x ∈ X x \in X xX,如果
∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ Z , ∀ n > N , d ( x n , x ) < ϵ \forall \epsilon>0,\exists N \in \mathbb Z,\forall n>N,d(x_n,x) < \epsilon ϵ>0,NZ,n>N,d(xn,x)<ϵ

两个度量空间 X , Y X,Y X,Y 之间的映射 f : X → Y f:X \to Y f:XY,我们说它是连续的(continuous),如果它:把收敛序列映射到收敛序列,并保持极限
lim ⁡ n → ∞ f ( x n ) = f ( lim ⁡ n → ∞ x n ) \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty} x_n) nlimf(xn)=f(nlimxn)

我们说两个度量 d 1 , d 2 d_1,d_2 d1,d2等价的(equivalent),如果对于所有的 ( x n ) (x_n) (xn),都有: ( x n ) (x_n) (xn) d 1 d_1 d1 下收敛    ⟺    \iff ( x n ) (x_n) (xn) d 2 d_2 d2 下收敛,记为 d 1 ∼ d 2 d_1 \sim d_2 d1d2

同胚(homeomorphism):也称为双连续函数(bi continuous)。拓扑空间(topological space) ( X , O X ) , ( Y , O Y ) (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) (X,OX),(Y,OY) 上的函数 f : X → Y f:X \to Y f:XY,满足三条性质: f f f 是双射, f f f 是连续函数, f − 1 f^{-1} f1 是连续函数。

对于度量空间 ( X , d ) (X,d) (X,d) 上的自同胚 f : X → X f:X \to X f:XX,那么定义新的度量
d ′ ( x , y ) : = d ( f ( x ) , f ( y ) ) d'(x,y):=d(f(x),f(y)) d(x,y):=d(f(x),f(y))

它满足 d ′ ∼ d d' \sim d dd 等价。

由于 f ( x ) = x / ( x + 1 ) f(x)=x/(x+1) f(x)=x/(x+1) [ 0 , ∞ ) → [ 0 , 1 ) [0,\infty) \to [0,1) [0,)[0,1) 上的单调同胚,那么:任何度量 d d d,都存在一个等价度量 d ′ ( x , y ) : = d ( x , y ) d ( x , y ) + 1 d'(x,y):=\dfrac{d(x,y)}{d(x,y)+1} d(x,y):=d(x,y)+1d(x,y),使得 I m ( d ′ ) = [ 0 , 1 ) Im(d')=[0,1) Im(d)=[0,1)。我们根据等价关系,将所有的度量 d d d 划分为等价类 [ d ] [d] [d],我们称 ( X , [ d ] ) (X,[d]) (X,[d])可度量空间(metrizable space)

一个可度量空间 ( X , [ d ] ) (X,[d]) (X,[d])紧凑的(compact),如果任意的序列 ( x n ) (x_n) (xn),都包含一个收敛的子序列(从 x n x_n xn 中无限的挑选一些点)。例子: R n \mathbb R^n Rn 的有界闭子集;离散空间是紧凑的,当仅当它是有限的。

两个更弱的紧凑性:

  1. 我们说 X X X σ \sigma σ-紧的,如果存在一个紧子集序列 K n ⊂ K n + 1 K_n \subset K_{n+1} KnKn+1 使得 X = ⋃ n K n X=\bigcup_n K_n X=nKn,这个序列 ( K n ) (K_n) (Kn) 叫做 compact exhaustion。易知 R \mathbb R R 可以选取 K n = [ − n , n ] K_n=[-n,n] Kn=[n,n],可数的离散空间也存在这种序列。
  2. 我们说 X X X局部紧的(locally compact),如果对于任意点 x ∈ X x \in X xX,存在 r > 0 r>0 r>0 使得闭球 B ˉ r ( x ) \bar B_r(x) Bˉr(x) 是紧凑的。例子:空间 R n \mathbb R^n Rn、离散空间;反例:无限维 Hilbert 空间。
  3. 如果度量空间同时 σ \sigma σ-紧、局部紧,则称为 σ \sigma σ-局部紧。例子: R \mathbb R R R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z,可数的离散空间。

可度量阿贝尔群(metrizable abelian group):阿贝尔群 A A A,度量等价类 [ d ] [d] [d],并满足 ( x , y ) ↦ x y (x,y) \mapsto xy (x,y)xy 以及 x ↦ x − 1 x \mapsto x^{-1} xx1 都是连续函数(把收敛序列映射到收敛序列,并保持极限)

LCA 群:可度量的 σ \sigma σ-局部紧的阿贝尔群。例子:可数的阿贝尔群 + 离散度量,实数域 R \mathbb R R,实数环面 R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z

  1. 一个 compact exhaustion 序列 ( K n ) (K_n) (Kn) 称为吸收的(absorbing),如果对于任意的紧凑子集 K ⊂ A K \subset A KA,都存在某个 n ∈ N n \in \mathbb N nN 使得 K ⊂ K n K \subset K_n KKn

    LCA 群总是包含一个 absorbing exhaustion

  2. 可度量空间的子集 D ⊂ X D \subset X DX 称为稠密的(dense subset),对于任意的 x ∈ X x \in X xX,总存在 x n ∈ D x_n \in D xnD 使得序列 ( x n ) (x_n) (xn) 收敛于 x x x

    LCA 群总是包含一个可数的稠密子集

注意,连续函数、稠密子集,都是相对于 “收敛序列” 来说的,其不同点之间的测度 d ( x , y ) d(x,y) d(x,y) 可以是离散的,只要 n → ∞ n \to \infty n 时度量趋于 0 0 0 即可。

LCA 群的对偶

A A A 是 LCA 群,特征定义为连续群同态 χ : A → T \chi:A \to \mathbb T χ:AT(把收敛序列映射到收敛序列,并保持极限)。所有特征的收集 A ^ \hat A A^,附带上乘法乘法 χ η ( a ) = χ ( a ) η ( a ) \chi\eta(a) = \chi(a)\eta(a) χη(a)=χ(a)η(a),称为对偶群

  1. Z \mathbb Z Z 的特征: x ↦ e 2 π i x y ,    y ∈ R / Z x \mapsto e^{2\pi i xy},\,\, y \in \mathbb R/\mathbb Z xe2πixy,yR/Z,于是有 Z ^ ≅ R / Z \hat{\mathbb Z} \cong \mathbb R/\mathbb Z Z^R/Z
  2. R / Z \mathbb R/\mathbb Z R/Z 的特征: x ↦ e 2 π i x y ,    y ∈ Z x \mapsto e^{2\pi i xy},\,\, y \in \mathbb Z xe2πixy,yZ,于是有 R / Z ^ ≅ Z \widehat{\mathbb R/\mathbb Z} \cong \mathbb Z R/Z Z
  3. R \mathbb R R 的特征: x ↦ e 2 π i x y ,    y ∈ R x \mapsto e^{2\pi i xy},\,\, y \in \mathbb R xe2πixy,yR,于是有 R ^ ≅ R \hat{\mathbb R} \cong \mathbb R R^R

LAC 群的对偶,依然是 LAC 群。给定 A A A 的一个 absorbing compact exhaustion A = ⋃ n K n A=\bigcup_n K_n A=nKn,对于对偶群中的元素 χ , η \chi,\eta χ,η,定义 A ^ \hat A A^ 的度量为:
d ^ n ( χ , η ) = sup ⁡ x ∈ K n ∣ χ ( x ) − η ( x ) ∣ d ^ ( χ , η ) = ∑ n d ^ n ( χ , η ) 2 n \hat d_n(\chi,\eta) = \sup_{x\in K_n} |\chi(x)-\eta(x)|\\ \hat d(\chi,\eta) = \sum_n \dfrac{\hat d_n(\chi,\eta)}{2^n} d^n(χ,η)=xKnsupχ(x)η(x)d^(χ,η)=n2nd^n(χ,η)

群同构 R / Z → Z ^ \mathbb R/\mathbb Z \to \widehat{\mathbb Z} R/ZZ Z → R / Z ^ \mathbb Z \to \widehat{\mathbb R/\mathbb Z} ZR/Z R → R ^ \mathbb R \to \widehat{\mathbb R} RR 都是同胚(双连续的)。

A A A 是 LCA 群( σ \sigma σ-紧 + 局部紧):如果 A A A 紧凑(compact),那么 A ^ \hat A A^ 离散(discrete);如果 A A A 离散,那么 A ^ \hat A A^ 紧凑。

Pontryagin Duality:任意的 LAC 群,典范同构于它的 bidual,映射 A → A ^ ^ A \to \widehat{\hat A} AA^ 定义为
a ↦ δ a ,    δ a ( χ ) = χ ( a ) a \mapsto \delta_a,\,\, \delta_a(\chi)=\chi(a) aδa,δa(χ)=χ(a)

它是两个 LCA 群 A ≅ A ^ ^ A \cong \widehat{\hat A} AA^ 之间的群同态。

Pontryagin Duality theorem:一个 LCA 群 G G G,令 H ⊂ G H \subset G HG 是闭子群(closed subgroup),令 H ⊥ ⊂ G ^ H^\perp \subset \hat G HG^ 是对偶群的闭子群,则对偶关系 ⋅ ^ \hat \cdot ^ 定义了子群和商群之间的双射,
H ^ = G ^ / H ⊥ ,    G / H ^ = H ⊥ \hat H = \hat G/H^\perp,\,\, \widehat{G/H}=H^\perp H^=G^/H,G/H =H

对偶空间

V V V 是域 F \mathbb F F 上的线性空间(阿贝尔群, F \mathbb F F-模),线性泛函(linear functional)是线性映射 V → F V \to \mathbb F VF,定义运算
( α + β ) ( v ) = α ( v ) + β ( v ) ( k α ) ( v ) = k ⋅ α ( v ) (\alpha+\beta)(v)=\alpha(v)+\beta(v)\\ (k\alpha)(v)=k \cdot \alpha(v) (α+β)(v)=α(v)+β(v)(kα)(v)=kα(v)

对偶空间(dual space):令 V ∗ = H o m ( V , F ) V^*=Hom(V,\mathbb F) V=Hom(V,F) 是所有线性泛函的收集,容易验证它构成线性空间。

对偶基(dual basis):对于有限维的空间 dim ⁡ V = n \dim V=n dimV=n,如果 e i e_i ei V V V 的一组基,那么 α i \alpha^i αi V ∗ V^* V 的一组基,其中 α i ( e j ) = δ i j \alpha^i(e_j)=\delta_{ij} αi(ej)=δij,这里 δ i j \delta_{ij} δij 是示性函数。可以验证 dim ⁡ V = dim ⁡ V ∗ \dim V = \dim V^* dimV=dimV,于是 V ≅ V ∗ V \cong V^* VV,同构 e i ↦ α i e_i \mapsto \alpha^i eiαi

对偶映射(dual map):两个空间 V , W V,W V,W 之间的线性映射 f : V → W f:V \to W f:VW,它们对偶空间中的 α : V → F , β : W → F \alpha:V \to \mathbb F, \beta:W \to \mathbb F α:VF,β:WF 可以被映射 f ∗ : W ∗ → V ∗ f^*:W^* \to V^* f:WV 关联,定义为 f ∗ ( β ) = β ∘ f f^*(\beta)=\beta \circ f f(β)=βf,它也是线性映射,并且满足
( f + g ) ∗ = f ∗ + g ∗ ( k f ) ∗ = k f ∗ ( f g ) ∗ = g ∗ f ∗ (f+g)^* = f^*+g^*\\ (kf)^* = kf^*\\ (fg)^* = g^*f^* (f+g)=f+g(kf)=kf(fg)=gf

线性空间到其 bidual 的映射 ϕ : V → ( V ∗ ) ∗ \phi:V \to (V^*)^* ϕ:V(V),使之满足
( ϕ ( v ) ) ( α ) = α ( v ) (\phi(v))(\alpha)=\alpha(v) (ϕ(v))(α)=α(v)

可以证明它是单射,且其构造不依赖于基的选取的单射,称为典范单射(canonical injection)。对于有限维 dim ⁡ V = dim ⁡ ( V ∗ ) ∗ \dim V = \dim (V^*)^* dimV=dim(V),映射 ϕ \phi ϕ 也是双射(无限维的不是),称为典范同构(canonical isomorphism)。 V ≅ V ∗ V \cong V^* VV 不是典范的,而 V ≅ ( V ∗ ) ∗ V \cong (V^*)^* V(V) 是典范的。

固定映射,原像和像具有某种 “映射” 关系(每个原像只对应一个像);同样的,当我们固定原像时,映射和像也存在某种映射关系。于是,原像和映射之间存在某种对称关系,我们将这种对称关系称为 “对偶”,将其所在的空间抽象为对偶空间。

对偶关系是对称的,可以将线性泛函记作 f ( x ) = ⟨ f , x ⟩ f(x) = \langle f,x \rangle f(x)=f,x 更好地表示其双线性(Bilinear)。对于有限维的线性空间 V V V,其对偶空间 V ∗ V^* V 与之同构,可以不严谨地将 x ∈ V x \in V xV f ∈ V ∗ f \in V^* fV 放在同一个空间中。

对偶格

格(lattice)是线性空间 R m \mathbb R^m Rm 中的离散子空间,于是它是一个线性空间(无限的阿贝尔群)。

Λ ⊆ R m \Lambda \subseteq \mathbb R^m ΛRm ,格基 B ∈ R m × n B \in \mathbb R^{m \times n} BRm×n dim ⁡ Λ = n ≤ m \dim \Lambda=n \le m dimΛ=nm,它的对偶定义为集合
Λ ⊥ = { y ∈ S p a n ( Λ ) : ∀ x ∈ Λ , ⟨ x , y ⟩ ∈ Z } \Lambda^\perp=\{y \in Span(\Lambda):\forall x \in \Lambda,\langle x,y \rangle \in \mathbb Z\} Λ={ySpan(Λ):xΛ,x,yZ}

它是对偶格(dual lattice),格基 D = B ( B T B ) − 1 ∈ R m × n D=B(B^TB)^{-1} \in \mathbb R^{m \times n} D=B(BTB)1Rm×n,易知 dim ⁡ Λ ⊥ = dim ⁡ Λ \dim \Lambda^\perp = \dim \Lambda dimΛ=dimΛ

两者的关系:

  1. 格基互为伪逆, B T D = D T B = I B^TD=D^TB=I BTD=DTB=I
  2. 常数 c > 0 c >0 c>0,那么 ( c ⋅ Λ ) ⊥ = 1 c ⋅ Λ (c\cdot\Lambda)^\perp = \dfrac{1}{c} \cdot \Lambda (cΛ)=c1Λ
  3. 如果 S p a n ( Λ 1 ) = S p a n ( Λ 1 ) Span(\Lambda_1) = Span(\Lambda_1) Span(Λ1)=Span(Λ1),那么 Λ 1 ⊆ Λ 2    ⟺    Λ 1 ⊥ ⊇ Λ 2 ⊥ \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2 \iff \Lambda_1^\perp \supseteq \Lambda_2^\perp Λ1Λ2Λ1Λ2
  4. 格越稀疏,其对偶越密集, det ⁡ ( Λ ⊥ ) = 1 / det ⁡ ( Λ ) \det(\Lambda^\perp) = 1/\det(\Lambda) det(Λ)=1/det(Λ)
  5. 与对偶空间不同,格的 bidual 恰好是本身, ( Λ ⊥ ) ⊥ = Λ (\Lambda^\perp)^\perp = \Lambda (Λ)=Λ

对偶格的理解,文章来源地址https://www.uudwc.com/A/aYDXR/

  • 视为 LAC 群:线性空间 G = R m G=\mathbb R^m G=Rm 是一个 LAC 群,格 Λ \Lambda Λ 是一个闭子群,考虑商群 P = G / Λ \mathcal P=G/\Lambda P=G(格的 Parallelepiped)。根据 Pontryagin 对偶定理,对偶格 Λ ⊥ \Lambda^\perp Λ 定义为:满足 P ^ ≅ Λ ⊥ \hat{\mathcal P} \cong \Lambda^\perp P^Λ 的对偶群闭子群 Λ ⊥ ⊂ G ^ \Lambda^\perp \subset \hat G ΛG^
  • 视为对偶空间:离散子空间 Λ ⊂ R m \Lambda \subset \mathbb R^m ΛRm 是一个 Z \mathbb Z Z-子模,所有的线性映射 y : x ∈ Λ ↦ ⟨ x , y ⟩ ∈ Z y: x \in \Lambda \mapsto \langle x,y\rangle \in \mathbb Z y:xΛx,yZ 组成了对偶空间 H o m ( R m , R ) Hom(\mathbb R^m,\mathbb R) Hom(Rm,R) 的离散 Z \mathbb Z Z-子模,定义为对偶格。

原文地址:https://blog.csdn.net/weixin_44885334/article/details/133386214

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